Взгляните на синтетический график ниже. Опытный инженер по исследованию скважин почти сразу скажет, что на рисунке, скорее всего, горизонтальная скважина с влиянием ствола и граничными эффектами.
Такое чтение графика возможно благодаря диагностическим признакам, которые на нём видны. Единичный наклон в начале соответствует влиянию ствола скважины. Наклон 1/2 в середине указывает на линейный режим. Горизонтальная полка означает радиальный режим. Единичный наклон в конце говорит о влиянии границ пласта. Всё это складывается в единую картину, и инженер выдаёт своё заключение.
Это известные паттерны, и их обычно заучивают. Но это не условность и не договорённость. Это закономерность, которая коренится в физике процессов, а проявляется благодаря точно подобранным математическим инструментам. В этой статье мы разберём устройство такого инструмента, как диагностический график, чтобы понимать не только, как им пользоваться, но и почему это работает.
Откуда берутся степени
Посмотрите на кривую изменения давления ниже. Мы намеренно убрали с неё оси. Можно ли по одной форме сказать, что это за запись: за час, за неделю или за год?
Угадать не получится. Кривая давления устроена так, что по её форме нельзя определить масштаб времени. Это может быть и участок за день, и участок за год: всё зависит от свойств системы, которые задают масштаб.
Это не случайность. Если форма кривой не меняется при растяжении оси времени, значит, у зависимости нет собственного масштаба. Таким свойством обладает только степенная функция и её предельный случай — логарифм. У любой другой зависимости масштаб зашит внутрь: у синусоиды есть период, у экспоненты есть время затухания. Растяните ось, и форма изменится.
Выходит, в уравнениях течения давление должно зависеть от времени через степень. Проверим это на основных режимах течения:
| Режим течения | Уравнение | Зависимость от времени | Показатель степени |
|---|---|---|---|
| Влияние ствола скважины | $\Delta p = \dfrac{qB}{C}\, t$ | линейная | 1 |
| Линейный | $\Delta p = \dfrac{qB}{h\, x_f} \sqrt{\dfrac{\mu t}{\phi c_t k}}$ | корень квадратный | 1/2 |
| Билинейный | $\Delta p = \dfrac{qB\mu}{h \sqrt{k_f w}} \left(\dfrac{t}{\phi \mu c_t k}\right)^{1/4}$ | корень четвёртой степени | 1/4 |
| Сферический | $\Delta p = \dfrac{qB\mu}{k_s r_s} - \dfrac{qB\mu \sqrt{\phi \mu c_t}}{k_s^{3/2}}\, t^{-1/2}$ | обратный корень | −1/2 |
| Замкнутый пласт | $\Delta p = \dfrac{qB}{\phi c_t h A}\, t + b$ | линейная | 1 |
Так и есть: неважно, из чего состоят эти уравнения, во всех случаях давление зависит от времени через степень. И эти степени подозрительно совпадают с наклонами, которые мы видели на диагностическом графике. Совпадение не случайное, и чтобы увидеть связь, нужен ещё один математический инструмент.
Логарифм превращает степень в наклон
Этот инструмент — логарифм. Вспомним школьное свойство: степень под логарифмом можно вынести вперёд как множитель.
Посмотрим, что это означает на графике. Возьмём простую степенную функцию $\Delta p = 2\sqrt{t}$, то есть $2\,t^{1/2}$, и построим её дважды: в обычных координатах и в логарифмических.
В обычных координатах это кривая: она круто растёт в начале и постепенно выполаживается. В логарифмических та же самая функция превращается в прямую линию. Так логарифм наглядно выпрямляет степенную зависимость: показатель степени, вынесенный вперёд, становится наклоном прямой.
Наши уравнения на лог-лог графике
Вернёмся к таблице режимов течения. Уберём из уравнений физику и оставим только их устройство: все параметры пласта и скважины соберём в постоянные коэффициенты $a$ и $b$. Затем возьмём логарифм от каждого уравнения.
| Режим течения | Уравнение | После логарифмирования |
|---|---|---|
| Влияние ствола скважины | $\Delta p = a\, t$ | $\log \Delta p = \log a + \log t$ |
| Линейный | $\Delta p = a\, t^{1/2}$ | $\log \Delta p = \log a + \frac{1}{2} \log t$ |
| Билинейный | $\Delta p = a\, t^{1/4}$ | $\log \Delta p = \log a + \frac{1}{4} \log t$ |
| Сферический | $\Delta p = b - a\, t^{-1/2}$ | $\log \Delta p = \log \left(b - a\, t^{-1/2}\right)$ |
| Замкнутый пласт | $\Delta p = a\, t + b$ | $\log \Delta p = \log \left(a\, t + b\right)$ |
Первые три уравнения — чистая степень. Логарифм легко их раскладывает: степень выносится вперёд и становится наклоном, а всё, что связано с пластом, уходит в $\log a$ и лишь сдвигает линию вверх или вниз. На лог-лог графике получаются ровные прямые с наклонами 1, 1/2 и 1/4.
С двумя последними уравнениями так не выходит. В них к степени прибавляется постоянное слагаемое $b$, а логарифм суммы на сумму логарифмов не раскладывается. Степень остаётся запертой внутри скобок, и прямой линии не получается.
В сферическом режиме константа главная: давление просто выходит на полку, и наклона −1/2 на графике нет совсем. В замкнутом пласте константа мешает меньше: единичный наклон всё же появляется, но поздно и плавно, без чёткого начала. Чтобы решить эту проблему, воспользуемся производной.
Избавляемся от констант дифференцированием
У производной есть нужное нам свойство: постоянное слагаемое при дифференцировании исчезает. Возьмём производную от каждого уравнения и снова прологарифмируем:
| Режим течения | Уравнение | Производная | После логарифмирования |
|---|---|---|---|
| Влияние ствола скважины | $\Delta p = a\, t$ | $\dfrac{d\Delta p}{dt} = a$ | $\log \dfrac{d\Delta p}{dt} = \log a$ |
| Линейный | $\Delta p = a\, t^{1/2}$ | $\dfrac{d\Delta p}{dt} = \dfrac{a}{2}\, t^{-1/2}$ | $\log \dfrac{d\Delta p}{dt} = \log \dfrac{a}{2} - \dfrac{1}{2} \log t$ |
| Билинейный | $\Delta p = a\, t^{1/4}$ | $\dfrac{d\Delta p}{dt} = \dfrac{a}{4}\, t^{-3/4}$ | $\log \dfrac{d\Delta p}{dt} = \log \dfrac{a}{4} - \dfrac{3}{4} \log t$ |
| Сферический | $\Delta p = b - a\, t^{-1/2}$ | $\dfrac{d\Delta p}{dt} = \dfrac{a}{2}\, t^{-3/2}$ | $\log \dfrac{d\Delta p}{dt} = \log \dfrac{a}{2} - \dfrac{3}{2} \log t$ |
| Замкнутый пласт | $\Delta p = a\, t + b$ | $\dfrac{d\Delta p}{dt} = a$ | $\log \dfrac{d\Delta p}{dt} = \log a$ |
Константа ушла, и теперь все пять производных — чистые степени. На лог-лог графике каждая из них становится прямой.
Проблему со сферическим режимом и замкнутым пластом производная решила.
Остался ещё один режим, который мы пока нарочно пропускали — радиальный, один из важнейших при ГДИС. Его уравнение выглядит так:
Если упростить его так же, как остальные, получим:
Мы пропустили этот кейс ранее, потому что это предельный случай: зависимость здесь не степенная, а логарифмическая. Логарифмирование такую кривую не выпрямляет, она остаётся изогнутой и в обычных, и в логарифмических координатах. Зато производная справляется и здесь:
Снова чистая степень, и на лог-лог графике она становится прямой с наклоном −1.
Теперь прямые есть для всех шести режимов, но у этого решения есть цена. Производная уменьшает показатель степени на единицу, поэтому её наклоны не совпадают с наклонами самого давления. Линейный режим даёт уже не 1/2, а −1/2, билинейный — не 1/4, а −3/4. А радиальный режим, самый важный из всех, получает ничем не примечательный наклон −1.
В целом это работает. Если построить комплексный пример из начала статьи, режимы на производной в принципе можно различить, а со временем — и привыкнуть к такому виду.
Однако в запасе есть ещё один математический приём. Он сделает картину заметно лучше и даст привычный инженеру вид графика.
Производная Бурде: дифференцируем по логарифму времени
Будем дифференцировать по логарифму. Идея простая: раз мы смотрим на данные в зависимости от логарифма времени, логично и дифференцировать по этой же оси. Такую производную в начале 1980-х предложил Доминик Бурде, и с тех пор она носит его имя:
Поскольку $d \ln t = \dfrac{dt}{t}$, на практике она считается совсем просто — обычная производная, умноженная на время:
Множитель $t$ компенсирует то, что отняла обычная производная. Для степенной функции это видно сразу:
Обычная производная уменьшила показатель на единицу, а умножение на $t$ вернуло его обратно. Функция осталась той же степенью, изменился только постоянный множитель.
С логарифмом получается ещё интереснее:
Время исчезает совсем, остаётся константа. Посмотрим, что это даёт для всех шести режимов:
| Режим течения | Уравнение | Производная Бурде | После логарифмирования | Наклон |
|---|---|---|---|---|
| Влияние ствола скважины | $\Delta p = a\, t$ | $\Delta p' = a\, t$ | $\log \Delta p' = \log a + \log t$ | 1 |
| Линейный | $\Delta p = a\, t^{1/2}$ | $\Delta p' = \dfrac{a}{2}\, t^{1/2}$ | $\log \Delta p' = \log \dfrac{a}{2} + \dfrac{1}{2} \log t$ | 1/2 |
| Билинейный | $\Delta p = a\, t^{1/4}$ | $\Delta p' = \dfrac{a}{4}\, t^{1/4}$ | $\log \Delta p' = \log \dfrac{a}{4} + \dfrac{1}{4} \log t$ | 1/4 |
| Радиальный | $\Delta p = a \ln t + b$ | $\Delta p' = a$ | $\log \Delta p' = \log a$ | 0 |
| Сферический | $\Delta p = b - a\, t^{-1/2}$ | $\Delta p' = \dfrac{a}{2}\, t^{-1/2}$ | $\log \Delta p' = \log \dfrac{a}{2} - \dfrac{1}{2} \log t$ | −1/2 |
| Замкнутый пласт | $\Delta p = a\, t + b$ | $\Delta p' = a\, t$ | $\log \Delta p' = \log a + \log t$ | 1 |
Все шесть режимов дают прямые. Заметьте: там, где наклон есть у самого давления, у производной он такой же.
По сравнению с обычной производной преимущество получается сразу по нескольким фронтам:
- Наклоны давления и производной совпадают. Для чистых степенных режимов производная идёт параллельно давлению, и это даёт дополнительный диагностический признак.
- Радиальный режим превращается в горизонтальную полку. Самый важный режим получает самый узнаваемый признак на графике.
- Производная измеряется в тех же единицах, что и давление. Обе кривые строятся на одних осях и в одном диапазоне значений, поэтому их можно сравнивать между собой.
Насколько велика разница, лучше всего видно на комплексном примере. Слева — синтетический пример из начала статьи с обычной производной, справа — с производной Бурде:
Слева режимы различить можно, но читать график неудобно. Наклоны производной в основном отрицательные и никак не связаны с наклонами давления, а радиальный режим выглядит обычным спуском и теряется среди других режимов и переходных участков. Справа линии проще и понятнее, а производная местами идёт параллельно давлению, поэтому такой график читается заметно легче.
Заключение
В завершение давайте коротко пройдём весь путь целиком. Функция давления в пласте не имеет собственного масштаба времени, поэтому каждый режим течения описывается степенной зависимостью. Логарифм превращает показатель степени в наклон прямой. Производная убирает константы, которые мешали логарифмированию. Производная Бурде возвращает показатели на место и делает график более читаемым.
Ни один из этих шагов не случаен. Каждый математический приём снимает конкретное препятствие, оставленное предыдущим. В результате диагностический график оказывается не набором договорённостей, которые нужно заучить, а инструментом, собранным так, чтобы физика пласта проявлялась в нём через простые геометрические признаки, которые инженер может распознать.
Теперь, глядя на диагностический график, можно видеть за его формой не просто знакомые паттерны, а физику происходящего в пласте. Знакомые признаки будут складываться в понятную физическую картину, а незнакомые — не вызывать растерянности, а пробуждать интерес: почему график выглядит именно так, какой физический процесс за этим стоит?
Вместо того чтобы просто узнавать знакомые формы, инженер начинает понимать их причины, задавать вопросы и глубже разбираться в происходящем. А это уже совсем другой уровень восприятия и понимания: когда график перестаёт быть картинкой для распознавания и становится способом увидеть физику пласта.
